典型习题：(12030202)对面积的曲面积分的基本计算方法

点“考研竞赛数学”↑可每天“涨姿势”哦！

解析视频

https://v.qq.com/txp/iframe/player.html?vid=i0393zn9ci3&width=500&height=375&auto=0

习题解答

相关小结

“对面积的曲面积分的基本计算方法”题型的求解思路以及相关的知识点：

对面积的曲面积分的基本计算步骤：

第一步：被积函数定义在积分曲面上。考虑借助描述积分曲面的方程简化对面积的曲面积分的被积函数，即可以将描述积分曲面的变量关系式代入被积函数变换、化简被积函数。

第二步：在直角坐标系中绘制积分曲面图形，或者直接借助描述积分曲面的方程，讨论积分区域图形的对称性和被积函数的奇偶性，包括图形的“轮换对称性”。从而在满足对称性、奇偶性和轮换对称性的条件下，借助“偶倍奇零”和轮换被积表达式变量转换、化简积分。

第三步：将积分转换为简单积分曲面上的积分。使用定义法直接计算对面积的曲面积分，积分曲面必须要求为简单类型的曲面。即要求将积分曲面转换为能够直接用二元函数z=z(x,y),y=y(z,x),x=x(y,z)来描述的曲面。如果不能，则考虑将曲面进行分割，将其分割成为这样一些简单曲面的并。然后借助于积分对积分曲面的可加性，将各简单曲面上的积分求和得到最终的积分结果。

第四步：对于简单积分曲面，将曲面的面积元素，用二元函数变量确定的坐标平面上的面积元素来描述。即借助于积分的元素法，将曲面片近似为切平面片，有

● 简单XY-型曲面z=z(x,y)：

其中γ为曲面的切平面的法向量与z轴的夹角。

● 简单YZ-型曲面x=x(y,z)：

其中α为曲面的切平面的法向量与x轴的夹角。

● 简单ZX-型曲面y=y(z,x)：

其中β为曲面的切平面的法向量与y轴的夹角。

第五步：将被积表达式中的dS和被积函数中的函数变量，分别用上面计算得到的表达式和用描述积分曲面的二元函数替换，并将积分曲面替换为积分曲面在对应坐标面上的投影区域，将对面积的曲面积分转换为二重积分，即有

第六步：选择合适的坐标系计算二重积分。

【注】如果积分曲面不为简单类型，可以将其分割成几种不同类型的简单曲面，然后分别利用以上步骤计算对面积的曲面积分，最终结果为所有积分曲面片上的对面积的曲面积分之和。

相关推荐

微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath) 亲，都看到这里了，为咱们的坚持一起点！

↓↓↓点阅读原文查看更多相关内容